Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 2 & - 4 & - 3 4 & 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 0 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 4 & 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

1

$1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + & - & + - & + & - & + & - + & - & + & - & + - & + & - & + & - + & - & + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + & - & + \\ - & + & - & + & - \\ + & - & + & - & + \\ - & + & - & + & - \\ + & - & + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for

a_{21}

$a_{21}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element

a_{21}

$a_{21}$ by its cofactor.

- 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$- 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for

a_{31}

$a_{31}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element

a_{31}

$a_{31}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.9

The minor for

a_{41}

$a_{41}$ is the determinant with row

4

$4$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.10

Multiply element

a_{41}

$a_{41}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.11

The minor for

a_{51}

$a_{51}$ is the determinant with row

5

$5$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 2 & 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \end{array} |$

Étape 1.12

Multiply element

a_{51}

$a_{51}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 2 & 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \end{array} |$

Étape 1.13

Add the terms together.

1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ - 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 2 & 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \end{array} |$

1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ - 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 2 & 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

Étape 2

Multipliez

0

$0$ par

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} |$ .

1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ - 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 2 & 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \end{array} |$

Étape 3

Multipliez

0

$0$ par

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} |$ .

1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ - 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 4 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 + 0 + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 2 & - 4 & - 3 9 & 0 & - 2 & 3 0 & 1 & 0 & - 2 0 & 2 & 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \end{array} |$

Étape 4

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5

Évaluez

$| \begin{array}{c} 9 & 0 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} |$ .

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$9 | \begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element

$a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 2 & 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element

$a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 2 & 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.1.9

The minor for

$a_{41}$ is the determinant with row

$4$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 2 & 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.1.10

Multiply element

$a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 2 & 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.1.11

Add the terms together.

$1 (9 | \begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 2 & 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 2 & 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.2

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 0 & - 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} |$ .

$1 (9 | \begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 2 & 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 2 & 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.3

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 0 & - 2 & 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} |$ .

$1 (9 | \begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 2 & 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.4

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 0 & - 2 & 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} |$ .

$1 (9 | \begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} |$ .

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Étape 5.5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 5.5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.5.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.5.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & - 4 \end{array} |$

Étape 5.5.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |$

Étape 5.5.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |$

Étape 5.5.1.9

Add the terms together.

$1 (9 (1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & - 4 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |) + 0 + 0 + 0) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.2

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & - 4 \end{array} |$ .

$1 (9 (1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & - 4 \end{array} | + 0 - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |) + 0 + 0 + 0) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & - 4 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (9 (1 (1 \cdot - 4 - 4 \cdot 3) + 0 - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |) + 0 + 0 + 0) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.2.1.1

Multipliez

$- 4$ par

$1$ .

$1 (9 (1 (- 4 - 4 \cdot 3) + 0 - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |) + 0 + 0 + 0) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.3.2.1.2

Multipliez

$- 4$ par

$3$ .

$1 (9 (1 (- 4 - 12) + 0 - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |) + 0 + 0 + 0) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.3.2.2

Soustrayez

$12$ de

$- 4$ .

$1 (9 (1 \cdot - 16 + 0 - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |) + 0 + 0 + 0) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (9 (1 \cdot - 16 + 0 - 2 (2 \cdot 4 + 0 \cdot 1)) + 0 + 0 + 0) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.1.1

Multipliez

$2$ par

$4$ .

$1 (9 (1 \cdot - 16 + 0 - 2 (8 + 0 \cdot 1)) + 0 + 0 + 0) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2

Multipliez

$0$ par

$1$ .

$1 (9 (1 \cdot - 16 + 0 - 2 (8 + 0)) + 0 + 0 + 0) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.2

Additionnez

$8$ et

$0$ .

$1 (9 (1 \cdot - 16 + 0 - 2 \cdot 8) + 0 + 0 + 0) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.1.1

Multipliez

$- 16$ par

$1$ .

$1 (9 (- 16 + 0 - 2 \cdot 8) + 0 + 0 + 0) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.2

Multipliez

$- 2$ par

$8$ .

$1 (9 (- 16 + 0 - 16) + 0 + 0 + 0) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.2

Additionnez

$- 16$ et

$0$ .

$1 (9 (- 16 - 16) + 0 + 0 + 0) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3

Soustrayez

$16$ de

$- 16$ .

$1 (9 \cdot - 32 + 0 + 0 + 0) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Multipliez

$9$ par

$- 32$ .

$1 (- 288 + 0 + 0 + 0) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.2

Additionnez

$- 288$ et

$0$ .

$1 (- 288 + 0 + 0) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.3

Additionnez

$- 288$ et

$0$ .

$1 (- 288 + 0) - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6.4

Additionnez

$- 288$ et

$0$ .

$1 \cdot - 288 - 4 | \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 6

Évaluez

$| \begin{array}{c} 2 & 2 & - 4 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & - 4 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

$1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 6.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 6.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.1.5

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 4 & - 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.1.6

Multiply element

$a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & - 4 & - 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.1.7

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 4 & - 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.1.8

Multiply element

$a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & - 4 & - 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.1.9

The minor for

$a_{41}$ is the determinant with row

$4$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 4 & - 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} |$

Étape 6.1.10

Multiply element

$a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & - 4 & - 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} |$

Étape 6.1.11

Add the terms together.

$1 \cdot - 288 - 4 (2 | \begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & - 4 & - 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & - 4 & - 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & - 4 & - 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Étape 6.2

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 2 & - 4 & - 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} |$ .

$1 \cdot - 288 - 4 (2 | \begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & - 4 & - 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & - 4 & - 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Étape 6.3

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 2 & - 4 & - 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} |$ .

$1 \cdot - 288 - 4 (2 | \begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & - 4 & - 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Étape 6.4

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 2 & - 4 & - 3 \\ 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} |$ .

$1 \cdot - 288 - 4 (2 | \begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} | + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 6.5

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & - 4 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 6.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 6.5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.5.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.5.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.5.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |$

Étape 6.5.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |$

Étape 6.5.1.9

Add the terms together.

$1 \cdot - 288 - 4 (2 (1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & - 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & - 4 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 6.5.2

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & - 4 \end{array} |$ .

$1 \cdot - 288 - 4 (2 (1 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & - 4 \end{array} | + 0 - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 6.5.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & - 4 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 288 - 4 (2 (1 (1 \cdot - 4 - 4 \cdot 3) + 0 - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 6.5.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.3.2.1.1

Multipliez

$- 4$ par

$1$ .

$1 \cdot - 288 - 4 (2 (1 (- 4 - 4 \cdot 3) + 0 - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 6.5.3.2.1.2

Multipliez

$- 4$ par

$3$ .

$1 \cdot - 288 - 4 (2 (1 (- 4 - 12) + 0 - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 6.5.3.2.2

Soustrayez

$12$ de

$- 4$ .

$1 \cdot - 288 - 4 (2 (1 \cdot - 16 + 0 - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 6.5.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 288 - 4 (2 (1 \cdot - 16 + 0 - 2 (2 \cdot 4 + 0 \cdot 1)) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 6.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.4.2.1.1

Multipliez

$2$ par

$4$ .

$1 \cdot - 288 - 4 (2 (1 \cdot - 16 + 0 - 2 (8 + 0 \cdot 1)) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 6.5.4.2.1.2

Multipliez

$0$ par

$1$ .

$1 \cdot - 288 - 4 (2 (1 \cdot - 16 + 0 - 2 (8 + 0)) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 6.5.4.2.2

Additionnez

$8$ et

$0$ .

$1 \cdot - 288 - 4 (2 (1 \cdot - 16 + 0 - 2 \cdot 8) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 6.5.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.5.1.1

Multipliez

$- 16$ par

$1$ .

$1 \cdot - 288 - 4 (2 (- 16 + 0 - 2 \cdot 8) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 6.5.5.1.2

Multipliez

$- 2$ par

$8$ .

$1 \cdot - 288 - 4 (2 (- 16 + 0 - 16) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 6.5.5.2

Additionnez

$- 16$ et

$0$ .

$1 \cdot - 288 - 4 (2 (- 16 - 16) + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 6.5.5.3

Soustrayez

$16$ de

$- 16$ .

$1 \cdot - 288 - 4 (2 \cdot - 32 + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 6.6

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1

Multipliez

$2$ par

$- 32$ .

$1 \cdot - 288 - 4 (- 64 + 0 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 6.6.2

Additionnez

$- 64$ et

$0$ .

$1 \cdot - 288 - 4 (- 64 + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 6.6.3

Additionnez

$- 64$ et

$0$ .

$1 \cdot - 288 - 4 (- 64 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 6.6.4

Additionnez

$- 64$ et

$0$ .

$1 \cdot - 288 - 4 \cdot - 64 + 0 + 0 + 0$

Étape 7

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Multipliez

$- 288$ par

$1$ .

$- 288 - 4 \cdot - 64 + 0 + 0 + 0$

Étape 7.1.2

Multipliez

$- 4$ par

$- 64$ .

$- 288 + 256 + 0 + 0 + 0$

Étape 7.2

Additionnez

$- 288$ et

$256$ .

$- 32 + 0 + 0 + 0$

Étape 7.3

Additionnez

$- 32$ et

$0$ .

$- 32 + 0 + 0$

Étape 7.4

Additionnez

$- 32$ et

$0$ .

$- 32 + 0$

Étape 7.5

Additionnez

$- 32$ et

$0$ .

$- 32$